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直线的倾斜角与斜率教案
作为一名专为他人授业解惑的人民教师，时常会需要准备好教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。那么你有了解过教案吗？以下是小编为大家收集的直线的倾斜角与斜率教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
直线的倾斜角与斜率教案1
教学目标
（1）知识目标
① 让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。
② 通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。
③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。
（2）能力目标
① 通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。
② 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
（3）情感目标：
① 通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生
的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
② 通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数 学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
18025719591 ①直线倾斜角与斜率概念；
②推导并掌握过两点的直线斜率公式；
③体会数形结合及分类讨论思想的作用。
教学难点
斜率概念的学习和过两点斜率公式的.建立过程。
教学方法
教师启发引导与学生自主探索相结合。
教学手段
多媒体辅助课堂教学。
教学过程
创设情境，导入新课
利用水上乐园的滑梯这情境，向学生设问
坐哪个滑梯更刺激，速度更快？为什么？（学生回答）
滑梯的陡峭与平缓反映滑梯的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。
问题情境，形成概念
问题1、过平面直角坐标系内两点P、Q可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想确定其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？还需要增加一个什么样的几何量？
由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式
（1）已知直线上两点
（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度
问题2、过点P与x轴形成 角的直线有几条？
（学生可能答一条或两条，投影演示结果）如何区分这两条直线呢？(学生可能想到还需要确定一个角)。
为什么已知直线上一点和直线与x轴所成的角不能唯一确定一条直线？选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能确定坐标系下的一条直线呢？
（引导学生选取哪个角描述直线的倾斜程度，可分别确定这两条直线）
经历了这个角的形成过程，让学生用数学语言准确描述这个角（倾斜角的定义）。
师生互动，新课探究
1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线 ，把 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 重合所成的角，叫做直线 的倾斜角。
通过动画演示，帮助学生理解倾斜角定义。
问题3、在平面直角坐标系中过点P的直线，按倾斜角分，可分为几类？(让学生试着画)
学生容易忽略与 轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？
如何规定？（当直线 与 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 ）数形结合，得出倾斜角的范围是[0 ，180 ）
平面直角坐标系中一条直线 倾斜角
（倾斜角是从“形”的角度刻画平面直角坐标系内直线的倾斜程度）。
回顾旧知，迁移应用
(1)对于生活中斜坡，我们是用什么量刻画它的倾斜程度？
（坡角与坡度）
(2)坡度定义是什么？
（3）坡度随坡角 变化如何变化？当坡角 =90 与0 时坡度又分别是什么？
斜坡 平面直角坐标系中的直线
坡角 直线的倾斜角
坡度 直线的斜率。
左图中倾斜角为锐角，图中横坐标x从0到1增加一个单位，纵坐标y从0增加到k(k>0),我们称k为这条直线的斜率。 ，右图中倾斜角为钝角，在以后学习中可知，直线斜率也可用倾斜角的正切值表示。
2、斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即
问题4、当直线的倾斜角 为钝角时，如何求它的斜率？
倾斜角 为钝角的斜率，可转化到其补角 来求
如：倾斜角 ，则斜率
讨论交流，加深理解
问题5、当倾斜角变化时，斜率k如何变化？（动画演示）
新知演练 及时反馈
例1、下列哪些说法是正确的（ D、F ）
A、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
D、直线斜率的范围是R
E、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
F、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
尝试推导，深化认识
两点 一条直线 直线倾斜角 直线斜率
问题6、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，怎样用P1 、P2的坐标来表示直线斜率k？
解：设直线P1 P2倾斜角为 （ 90 ）,过点P1作 轴的平行线，过点P2作 轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）
（1）当 为锐角时，
设 x= , y=
=
（2）当 为钝角时， （设 = ），
设 x= , y=
即
（可让学生分组推导）
综上，无论 为锐角或钝角，都有 ，即
思考： 1、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？
2、斜率公式使用时应注意什么问题？
新知演练 及时反馈：
例2.求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。
（1）A（3,2）,B（-4,1）
（2）A（3,2）,B（4,1）
（3）A（3,2）,B（3,-1）
（4）A（3,2）,B（-4,2）
小结全课，概括升华
1、倾斜角和斜率的概念：
（1）两者都是刻画直线倾斜程度的两个量，一个从形方面，一个从数方面。
（2）倾斜角取值范围
2．求斜率的方法：k=tanα，
3、数学思想方法：分类讨论思想，数形结合思想。
板书设计
直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义
范围[0 ，180 ）
2、直线的斜率
①定义法
为锐角时： （ ）
为钝角时：
②坐标法
布置作业
直线的倾斜角与斜率教案2
一、教学内容分析
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用
二、教学目标
（一）知识目标
1、理解倾斜角和斜率的概念；
2、掌握过两点的直线斜率公式及应用．
（二）能力目标
1、通过坐标法的引入，培养学生观察归纳、对比、转化等辩证思维；
2、初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力．
（三）情感目标
1、通过主动探索合作交流来感受数学学习的乐趣.
2、鼓励学生积极主动的参与教学过程，激发求知的欲望．
三、教学重点及难点
重点：
1、 感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；
2、 推导并掌握过两点的直线斜率公式；
3、 体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。
难点：用代数方法推导斜率公式的过程
四、教学过程
过程
学生活动
设计意图
（一）、复习引入，点击课题
探究：一条直线位置由哪些条件确定呢？问题1、一点能不能确定一条直线（不能），过定点的`直线束有什么区别？
自然合理地提出问题，从最简单问题着手，创造轻松的氛围。从而引出本节课的题目。
（二）、实例探究、归纳共性
观察直线束并发现倾斜程度不同
引出倾斜角的概念
（三）、建立模型，形成概念
1、直线的倾斜角的定义
2、直线斜率的概念
3、推导斜率公式
对倾斜角、斜率概念的理解，让学生知道如何确定直线位置确定直线位置几何要素转化为代数问题
（四）、例题教学，巩固概念
例1、练习倾斜角和斜率的关系,并判断直线的倾斜角是锐角还是钝角.
例2、掌握过两点直线的斜率公式
练习巩固：课本86页
由学生完成，培养学生举一反三的能力和独立解决新问题的能力
（五）、课堂小结
1、倾斜角
2、斜率
3、斜率公式
（六）、布置作业：
五、板书设计
1、倾斜角 过两点的直线斜率公式
2、斜率
六．教学反思
注：教学过程的序列可根据集体备课的要求自行调整。
直线的倾斜角与斜率教案3
教学目标
(1)了解直线方程的概念.
(2)正确理解直线倾斜角和斜率概念 高二.理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率.
(3)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
(4)通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养观察、探索，运用语言表达，交流与评价.
(5)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
教学建议
1.教材分析
(1)结构
本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念;其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变;最后推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分体现了解析几何的思想.
(2)重点、难点分析
①本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键.
②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受.
2.教法建议
(1)本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相应的教学过程也有三个阶段
①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.
②本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗.再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程(一次函数 y=kx+b的形式，下同)中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学生更好的.理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计： (1) α变化→直线变化→ y=kx中的 x系数 y变化 (同时注意 tga的变化). (2) y=kx中的 x系数 y变化→直线变化→α变化 (同时注意 tga的变化). 运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中 x系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的.
③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的准备.
④在直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系.为将来曲线方程做好准备.
(2)本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价.倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的.在此过程生的思维和能力得到充分的发展.教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价.
直线的倾斜角与斜率教案4
学习目标：
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念；
2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程；
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
教学重点：
斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式.
教学难点：
直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.
教学用具：计算机，彩笔，三角板.
教学方法：启发引导法，讨论法.
教学过程：
一、引入新课
练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对。如果不对，为什么。
思考
2：过一点不能确定直线的位置，那么倾斜角确定，直线的位置能确定吗。
三、 直线的斜率
（一）定义
把一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率.
例如
（1）倾斜角时，直线的斜率= ；
（2）倾斜角时，直线的斜率= .
（注：当是锐角时,）
填写下表：
直线的倾斜程度
平行于轴
由左向右上升
垂直于轴
由左向右下降
的大小
的值或范围
练习：下列说法中正确的'是 ，错误的请说明原因.
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B.平行于x轴的直线的倾斜角是
C.两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
D.因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在
当为锐角时， = ；
当为钝角时，设∠QP1P2=θ,则与的关系是 ， ， = ，（填＞或＜）
= = = .
（2）当直线的方向向下时， = .
思考
3：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗。
为什么。
思考
4：当直线平行于轴，或与轴重合时，上述式子还成立吗。为什么。
（二）直线过两点，（）的斜率公式
思考
5： 已知直线上两点，运用上述公式计算直线的斜率时，与、两点坐标的顺序有关吗。
四、应用 。
直线的倾斜角与斜率教案5
教学目标
（1）了解直线方程的概念。
（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念 高二。理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率。
（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养观察、探索，运用语言表达，交流与评价。
（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
教学建议
1、教材分析
（1）结构
本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式。这些充分体现了解析几何的思想。
（2）重点、难点分析
①本节的重点是斜率的概念和斜率公式。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。
②本节的难点是对斜率概念的理解。学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受。
2、教法建议
（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。学生也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立。相应的教学过程也有三个阶段
①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念。
②本节的难点是对斜率概念的理解。学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的.倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样。学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗。再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪？要解决这些问题，就要求帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数 y=kx+b的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切。为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：
（1） α变化→直线变化→ y=kx中的 x系数 y变化 （同时注意 tga的变化）。
（2） y=kx中的 x系数 y变化→直线变化→α变化 （同时注意 tga的变化）。 运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中 x系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的
③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的准备。
④在直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系。为将来曲线方程做好准备。
（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式。学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价。倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的在此过程生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价。
直线的倾斜角与斜率教案6
课型：新授课
教学目标:
知识与技能
1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2.理解直线的倾斜角的唯一性.
3.理解直线的斜率的存在性.
4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学方法：启发、引导、讨论.
教学过程：
1.直线的倾斜角的概念
我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的这些直线有什么联系呢?
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α= 0°.
问:倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗?答案是肯定的所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角α.
2.直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的.正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1.
学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
3.直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示:直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式：
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90,直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4)当y1=y2时,斜率k = 0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
4．例题:
例1已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
略解:直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α是锐角.
例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2,及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作
45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y－0)／(x－0)，所以x = y
可令x = 1,则y = 1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a.同理,可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
5．练习:P86 1. 2. 3. 4.
课堂小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
(2)直线的斜率公式.
课后作业: P89习题3.1 1. 2. 3.4
课后记:
直线的倾斜角与斜率教案7
一、教学目标
1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。
2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
二、教学重点与难点
重点：
1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；
2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；
3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法
计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程
（一）创设情境，揭示课题
问题
1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗。
从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。
从数的角度看，如何区分两个点。（用坐标区分）
问题
2、过这两点可作什么图形。
唯一吗。只经过其中一点（如点P）可作多少条直线。若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗。
可以增加一个什么样的几何量。（估计不少学生能意识到需要有一个角）
由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式
（1）已知直线上两点
（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度
问题
3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角。（学生可能回答x轴或y轴）
以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。
选择哪个角来描述直线的`倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢。
（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分L1与L2）。
数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢。（揭示课题）
1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。
学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。
学生容易忽略与轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿。
如何规定。
规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。
自然有倾斜角的范围是[0，180）
这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。
以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
（二）巩固旧知，同化新知
生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映。（坡角与坡度）
初中对坡度是如何定义的。
当坡角增大时，坡度如何变化。
当坡角=90与0时，升高量、前进量分别是什么。坡度又分别是什么。
坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即
问题
5、当为钝角时，直线的斜率如何求。
（转化到其补角上）
问题
6、当在[0，180）内变化时，斜率k如何变化。
问题
7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢。
倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。
（三）尝试推导，深化认识
两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。
问题
8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐标来表示直线斜率k。
（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1 、P2及直线P1 P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。
解：设直线P1 P2倾斜角为
（90）当直线P1 P2方向向上时，过点P1作轴的平行线，过点P2作轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）
（1）当为锐角时，在中，（2）当为钝角时，（设=），=在中，（可让学生分组推导）
同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有，即
思考：
1、各种一般情形得出的结论一致吗。与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗。
2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗。
3、斜率公式使用时应注意什么问题。
巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。
（1）A（3,2）,B（-4,1）（）
（2）A（3,2）,B（4,1）（）
（3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在）
（4）A（3,2）,B（-4,2）（）
（四）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获。）
1、明确了确定直线位置的几何要素。
2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）
3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想
(五)板书设计
直线的倾斜角与斜率
（六）作业：1、2、3。
直线的倾斜角与斜率教案8
教学目标
（1）了解直线方程的概念．
（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率．
（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．
（2）重点、难点分析
①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．
②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．
2．教法建议
（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段
①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念．
②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切．为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：
(1) α变化→直线变化→中的系数变化（同时注意的变化）．
(2)中的系数变化→直线变化→α变化（同时注意的变化）．
运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的．
③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备．
④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系．为将来学习曲线方程做好准备．
（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．
教学设计示例
直线的倾斜角和斜率
教学目标：
（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
教学重点、难点：直线斜率的概念和公式
教学用具：计算机
教学方法：启发引导法，讨论法
教学过程：
（一）直线方程的概念
如图1，对于一次函数，和它的图像——直线有下面关系：
（1）有序数对（0，1）满足函数，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．
（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足．
一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标（，）；
反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．
从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．
以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．若（1）（2），则．
问：你能用充要条件叙述吗？
答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．
（二）直线的倾斜角
【问题1】
请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．
过定点，方向不同．
如何确定一条直线？
两点确定一条直线．
还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？
学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．
【导入】
今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．
【问题2】
在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．
学生：展开讨论．
学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．
通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．
【板书】
定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．
（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）
特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．
由此定义，角的范围如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π如图3
至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．
（三）直线的斜率
【问题3】
下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：
直线的'倾斜角在直线方程中是如何体现的？
学生：在练习本上画出直线，写出方程．
30° --à＝
45° --à＝
135°--à＝
（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）
【演示动画】
观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系
(1)直线变化→α变化→中的系数变化（同时注意α的变化）．
(2)中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意α的变化）．
教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！
【板书】
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．
这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．
指出下列直线的倾斜角和斜率：
(2)＝tg60° (3)＝tg(-30°)
学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)
画图，指出倾斜角和斜率．
结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．
注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．
α＝0° --à＝0
0°＜α＜90° --à＞0
α＝90° --à不存在
90°＜α＜180°--à＜0
（四）直线过两点斜率公式的推导
【问题4】
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？
即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．
思路分析：
首先由学生提出思路，教师启发、引导：
运用正切定义，解决问题．
(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）
(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）
(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．）
(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直线的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）
(6)如果P1和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．
评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．
【练习】
(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？
(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？
(3)直线(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？
(4)求经过两点(0，0)、 (-1，)直线的倾斜角和斜率．
(5)课本第37页练习第2、4题．
教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．
【总结】
教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：
(1)直线倾斜角的概念要注意什么？
(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？
(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？
学生边讨论边总结：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．
【作业】
1．课本第37页习题7．1第3、4、5题．
2．思考题
（1）方程是单位圆的方程吗？
（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？
（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？
（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？
板书设计
7．1直线的倾斜角和斜率
一、直线方程
二、直线的倾斜角
三、直线的斜率
四、斜率公式
练习
小结
作业
直线的倾斜角与斜率教案9
教学目标
〔1〕了解直线方程的概念．
〔2〕正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯—的，但不是每条直线都存在斜率．
〔3〕理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
〔4〕通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探究能力，运用数学言语表达能力，数学交流与评价能力．
〔5〕通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，援助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
教学建议
1．教材分析
〔1〕知识结构
本节内容首先依据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而完成了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分表达了解析几何的思想方法．
〔2〕重点、难点分析
①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及商量直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．
②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不简单接受．
2．教法建议
〔1〕本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段
①在教学中首先是创设问题情境，然后通过商量明确用角来刻画直线的'方向，如何定义这个角呢，学生在商量中逐渐明确倾斜角的概念．
②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯—确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪要解决这些问题，就要求教师援助学生认识到在直线的方程中表达的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程〔一次函数的形式，下同〕中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切．为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：
(1)α变化→直线变化→中的系数变化〔同时注意的变化〕．
(2) 中的系数变化→直线变化→α变化〔同时注意的变化〕．
运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对援助学生理解斜率概念是极有好处的．
③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作肯定的复习打算．
④在学习直线方程的概念时要通过举例清楚地指出两个条件，最好能用充要条件表达直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系．为将来学习曲线方程做好打算．
〔2〕本节内容在教学中宜采纳启发引导法和商量法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的根底上，进行充分的商量、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在商量、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的开展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．
教学设计例如
直线的倾斜角和斜率
教学目标：
〔1〕了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，〔2〕理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
〔3〕培养学生观察、探究能力，运用数学言语表达能力，数学交流与评价能力．
〔4〕援助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
教学重点、难点：直线斜率的概念和公式
教学用具：计算机
教学方法：启发引导法，商量法
教学过程：
〔一〕直线方程的概念
如图1，对于一次函数，和它的图像——直线有下面关系：
〔1〕有序数对〔0，1〕满足函数，则直线上就有一点A，它的坐标是〔0，1〕．
〔2〕反过来，直线上点B〔1，3〕，则有序实数对〔1，3〕就满足．
一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标〔，〕；
反之，直线上每一点的坐标〔，〕都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．
从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对， 的值“变成了〞二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的全部点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．
以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．假设〔1〕〔2〕，则．
问：你能用充要条件表达吗？
答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．
〔二〕直线的倾斜角
〔问题1〕
请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．
过定点，方向不同．
如何确定一条直线？
两点确定一条直线．
还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？
学生：思考、回忆、答复：这条直线的方向，或者说倾斜程度．
〔导入〕
今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．
〔问题2〕
在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？商量之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．
学生：展开商量．
学生商量过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．
通过商量认为：应选择α角来刻画直线的方向．依据三角函数的知识，说明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可〔开始时可能有学生认为有四个角或两个角〕，当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．
〔板书〕
定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．
〔教师强调三点：〔1〕直线向上的方向，〔2〕轴的正方向，〔3〕最小正角．〕
特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．
由此定义，角的范围如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π 如图3
至此问题2已经解决了，回忆一下是怎么解决的．
〔三〕直线的斜率
〔问题3〕
下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：
直线的倾斜角在直线方程中是如何表达的？
学生：在练习本上画出直线，写出方程．
30° --à＝
45° --à ＝
135°--à＝
〔注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．〕
〔演示动画〕
观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系
(1)直线变化→α变化→中的系数变化〔同时注意α的变化〕．
(2)中的x系数k变化→直线变化→α变化〔同时注意α的变化〕．
教师引导学生观察，归纳，猜想出
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