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高中数学教案

时间：2023-09-14 17:56:29 教案我要投稿

高中数学教案15篇[经典]

　　作为一名默默奉献的教育工作者，通常会被要求编写教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。教案应该怎么写呢？以下是小编收集整理的高中数学教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。

高中数学教案15篇[经典]

高中数学教案1

　　教学目标：

　　（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题。

　　（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线。

　　（3）初步掌握求曲线方程的方法。

　　（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力。

　　教学重点、难点：

　　求曲线的方程。

　　教学用具：

　　计算机。

　　教学方法：

　　启发引导法，讨论法。

　　教学过程：

　　【引入】

　　1、提问：什么是曲线的方程和方程的曲线。

　　学生思考并回答。教师强调。

　　2、坐标法和解析几何的意义、基本问题。

　　对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何。解析几何的两大基本问题就是：

　　（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。

　　（2）通过方程，研究平面曲线的性质。

　　事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题。而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线。本节课就初步研究曲线方程的求法。

　　【问题】

　　如何根据已知条件，求出曲线的方程。

　　【实例分析】

　　例1：设、两点的坐标是、(3，7)，求线段的垂直平分线的方程。

　　首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决。

　　解法一：易求线段的中点坐标为(1，3)，

　　由斜率关系可求得l的斜率为

　　于是有

　　即l的方程为

　　①

　　分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决。可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？

　　（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）。

　　证明：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解。

　　设是线段的垂直平分线上任意一点，则

　　即

　　将上式两边平方，整理得

　　这说明点的坐标是方程的解。

　　（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

　　设点的坐标是方程①的任意一解，则

　　到、的距离分别为

　　所以，即点在直线上。

　　综合(1)、(2)，①是所求直线的方程。

　　至此，证明完毕。回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

　　解法二：设是线段的.垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合

　　由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

　　将上式两边平方，整理得

　　果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足。显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证。

　　这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想。因此是个好方法。

　　让我们用这个方法试解如下问题：

　　例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程。

　　分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有。所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系。然后仿照例1中的解法进行求解。

　　求解过程略。

　　【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

　　分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

　　首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正。说得更准确一点就是：

　　（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；

　　（2）写出适合条件的点的集合

　　；

　　（3）用坐标表示条件，列出方程；

　　（4）化方程为最简形式；

　　（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

　　一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点。所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明。

　　上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正。

　　下面再看一个问题：

　　例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。

　　【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系。

　　解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合

　　由距离公式，点适合的条件可表示为

　　①

　　将①式移项后再两边平方，得

　　化简得

　　由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标(0，0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示。

　　【练习巩固】

　　题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程。

　　分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示。设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为。

　　根据条件，代入坐标可得

　　化简得

　　①

　　由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为

　　【小结】师生共同总结：

　　（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？

　　（2）如何求曲线的方程？

　　（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价。各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？

　　【作业】课本第72页练习1，2，3;

高中数学教案2

　　教学准备

　　教学目标

　　掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的概念，并能运用这些知识解决一些基本问题。

　　教学重难点

　　掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的.概念，并能运用这些知识解决一些基本问题。

　　教学过程

　　等比数列性质请同学们类比得出。

　　【方法规律】

　　1、通项公式与前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题。方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法。

　　2、判断一个数列是等差数列或等比数列，常用的方法使用定义。特别地，在判断三个实数

　　a,b,c成等差（比)数列时，常用(注：若为等比数列，则a,b,c均不为0）

　　3、在求等差数列前n项和的最大(小)值时，常用函数的思想和方法加以解决。

　　【示范举例】

　　例1：

　　（1）设等差数列的前n项和为30，前2n项和为100，则前3n项和为。

　　（2）一个等比数列的前三项之和为26，前六项之和为728，则a1=，q=。

　　例2：四数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项之和为21，中间两项之和为18，求此四个数。

　　例3：项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项。

高中数学教案3

　　[学习目标]

　　（1）会用坐标法及距离公式证明Cα+β；

　　（2）会用替代法、诱导公式、同角三角函数关系式，由Cα+β推导Cα—β、Sα±β、Tα±β，切实理解上述公式间的关系与相互转化；

　　（3）掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用简单的三角变换，解决求值、化简三角式、证明三角恒等式等问题。

　　[学习重点]

　　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

　　[学习难点]

　　余弦和角公式的推导

　　[知识结构]

　　1、两角和的余弦公式是三角函数一章和、差、倍公式系列的基础。其公式的证明是用坐标法，利用三角函数定义及平面内两点间的距离公式，把两角和α+β的余弦，化为单角α、β的三角函数（证明过程见课本）

　　2、通过下面各组数的值的比较：①cos（30°—90°）与cos30°—cos90°②sin（30°+60°）和sin30°+sin60°。我们应该得出如下结论：一般情况下，cos（α±β）≠cosα±cosβ，sin（α±β）≠sinα±sinβ。但不排除一些特例，如sin（0+α）=sin0+sinα=sinα。

　　3、当α、β中有一个是的整数倍时，应首选诱导公式进行变形。注意两角和与差的三角函数是诱导公式等的'基础，而诱导公式是两角和与差的三角函数的特例。

　　4、关于公式的正用、逆用及变用

高中数学教案4

　　一、预习目标

　　预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。

　　二、预习内容

　　阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：

　　1、例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？

　　2、利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？

　　3、例3中，

　　⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

　　⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

　　三、提出疑惑

　　同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容。

　　课内探究学案

　　一、学习内容

　　1、运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题。

　　2、运用向量的有关知识解决简单的物理问题。

　　二、学习过程

　　探究一：

　　（1）向量运算与几何中的结论"若，则，且所在直线平行或重合"相类比，你有什么体会？

　　（2）举出几个具有线性运算的几何实例。

　　例1、证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

　　已知：平行四边形ABCD。

　　求证：

　　试用几何方法解决这个问题，利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？

　　（1）建立平面几何与向量的联系，

　　（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

　　（3）把运算结果“翻译”成几何关系。

　　例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

　　探究二：两个人提一个旅行包，夹角越大越费力。在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力。这些力的问题是怎么回事？

　　例3，在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？

　　请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：

　　⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

　　⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

　　例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸。已知船的.速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精确到0。1min）？

　　变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s；（2）计算s在方向上的投影。

　　三、反思总结

　　结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题。

　　代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

　　本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。

高中数学教案5

　　一、向量的概念

　　1、既有又有的量叫做向量。用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的，有向线段的箭头所指的方向表示向量的

　　2、叫做单位向量

　　3、的向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做。零向量与任一向量平行

　　4、且的向量叫做相等向量

　　5、叫做相反向量

　　二、向量的表示方法：

　　几何表示法、字母表示法、坐标表示法

　　三、向量的加减法及其坐标运算

　　四、实数与向量的乘积

　　定义：实数 λ 与向量的积是一个向量，记作λ

　　五、平面向量基本定理

　　如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ，其中e1，e2叫基底

　　六、向量共线/平行的'充要条件

　　七、非零向量垂直的充要条件

　　八、线段的定比分点

　　设是上的两点，p是上xx的任意一点，则存在实数，使xxx，则为点p分有向线段所成的比，同时，称p为有向线段的定比分点

　　定比分点坐标公式及向量式

　　九、平面向量的数量积

　　（1）设两个非零向量a和b，作oa=a，ob=b，则∠aob=θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影

　　（2）|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即 a·b=|a||b|cosθ

　　（3）平面向量的数量积的坐标表示

　　十、平移

　　典例解读

　　1、给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b;②若a，b，c，d是不共线的四点，则ab= dc是四边形abcd为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c，则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c，则a∥c

　　其中，正确命题的序号是xx

　　2、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=xxxx

　　3、若将向量a=(2，1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为xx

　　4、下列算式中不正确的是( )

　　(a) ab+bc+ca=0 (b) ab-ac=bc

　　5、若向量a=（1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，则c=( ）

　　?函数y=x2的图象按向量a=（2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( ）

　　(a)y=(x-2)2-1 (b)y=(x+2)2-1 (c)y=(x-2)2+1 (d)y=(x+2)2+1

　　7、平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a（3，1)，b(-1，3)，若点c满足oc=αoa+βob，其中a、β∈r，且α+β=1,则点c的轨迹方程为( ）

　　(a)3x+2y-11=0 (b)(x-1)2+(y-2)2=5

　　8、设p、q是四边形abcd对角线ac、bd中点，bc=a,da=b，则 pq=xx

　　9、已知a(5,-1) b(-1,7) c(1,2)，求△abc中∠a平分线长

　　10、若向量a、b的坐标满足a+b=（-2,-1)，a-b=(4,-3)，则a·b等于( ）

　　(a)-5 (b)5 (c)7 (d)-1

　　11、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则( )

　　(a)(a)2·(b)2=(a·b)2 (b)|a+b|>|a-b|

　　(c)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直 (d)(a·b)·c-(b·c)·a=0

　　12、设a=（1,0)，b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是( ）

　　(a)2 (b)0 (c)1 (d)2

　　16、利用向量证明：△abc中，m为bc的中点，则 ab2+ac2=2(am2+mb2)

　　17、在三角形abc中， =(2，3)， =(1，k)，且三角形abc的一个内角为直角，求实数k的值

　　18、已知△abc中，a(2,-1)，b(3,2)，c(-3,-1)，bc边上的高为ad，求点d和向量

高中数学教案6

　　（一）教学具准备

　　直尺，投影仪．

　　（二）教学目标

　　1．掌握，的定义域、值域、最值、单调区间．

　　2．会求含有、的三角式的定义域．

　　（三）教学过程

　　1．设置情境

　　研究函数就是要讨论一些性质，，是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．

　　2．探索研究

　　师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？

　　生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．

　　师：很好，今天我们就来探索，两条最基本的性质定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）

　　师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．

　　师：请同学思考以下几个问题：

　　（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？

　　（2）正弦、余弦函数的值域是什么？

　　（3）他们最值情况如何？

　　（4）他们的正负值区间如何分？

　　（5）的解集如何？

　　师生一起归纳得出：

　　（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是．

　　（2）正弦函数、余弦函数的值域都是即，，称为正弦函数、余弦函数的有界性．

　　（3）取最大值、最小值情况：

　　正弦函数，当时，（）函数值取最大值1，当时，（）函数值取最小值－1．

　　余弦函数，当，（）时，函数值取最大值1，当，（）时，函数值取最小值－1．

　　（4）正负值区间：

　　（）

　　（5）零点：（）

　　（）

　　3．例题分析

　　【例1】求下列函数的定义域、值域：

　　（1）；（2）；（3）．

　　解：（1），

　　（2）由（）

　　又∵，∴

　　∴定义域为（），值域为．

　　（3）由（），又由

　　∴

　　∴定义域为（），值域为．

　　指出：求值域应注意用到或有界性的条件．

　　【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：

　　（1），；（2），；

　　（3）（4）．

　　解：（1）当，即（）时，取得最大值

　　∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．

　　（2）当时，即（）时，取得最大值．

　　∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．

　　（3）若，，此时函数为常数函数．

　　若时，∴时，即（）时，函数取最大值，

　　∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．

　　（4）若，则当时，函数取得最大值．

　　若，则，此时函数为常数函数．

　　若，当时，函数取得最大值．

　　∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．

　　指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．

　　思考：此例若改为求最小值，结果如何？

　　【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？

　　（1）；（2）．

　　解：（1）由，

　　∴当时，式子有意义．

　　（2）由，即

　　∴当时，式子有意义．

　　4．演练反馈（投影）

　　（1）函数，的`简图是（）

　　（2）函数的最大值和最小值分别为（）

　　A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4

　　（3）函数的最小值是（）

　　A．B．－2 C．D．

　　（4）如果与同时有意义，则的取值范围应为（）

　　A．B．C．D．或

　　（5）与都是增函数的区间是（）

　　A．，B．，

　　C．，D．，

　　（6）函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．

　　参考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D

　　6．；；

　　5．总结提炼

　　（1），的定义域均为．

　　（2）、的值域都是

　　（3）有界性：

　　（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的集合为无限集．

　　（5）正负敬意及零点，从图上一目了然．

　　（6）单调区间也可以从图上看出．

　　（四）板书设计

　　1．定义域

　　2．值域

　　3．最值

　　4．正负区间

　　5．零点

　　例1

　　例2

　　例3

　　课堂练习

　　课后思考题：求函数的最大值和最小值及取最值时的集合

　　提示：

高中数学教案7

　　教学目标

　　(1)了解算法的含义，体会算法思想。

　　(2)会用自然语言和数学语言描述简单具体问题的算法;

　　(3)学习有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，培养逻辑思维能力与表达能力。

　　教学重难点

　　重点：算法的含义、解二元一次方程组的算法设计。

　　难点：把自然语言转化为算法语言。

　　情境导入

　　电影《神枪手》中描述的凌靖是一个天生的狙击手，他百发百中，最难打的位置对他来说也是轻而易举，是香港警察狙击手队伍的第一神枪手、作为一名狙击手，要想成功地完成一次狙击任务，一般要按步骤完成以下几步：

　　第一步：观察、等待目标出现(用望远镜或瞄准镜);

　　第二步：瞄准目标;

　　第三步：计算(或估测)风速、距离、空气湿度、空气密度;

　　第四步：根据第三步的结果修正弹着点;

　　第五步：开枪;

　　第六步：迅速转移(或隐蔽)

　　以上这种完成狙击任务的方法、步骤在数学上我们叫算法。

　　课堂探究

　　预习提升

　　1、定义：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题。

　　2、描述方式

　　自然语言、数学语言、形式语言(算法语言)、框图。

　　3、算法的要求

　　(1)写出的算法，必须能解决一类问题，且能重复使用;

　　(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果。

　　4、算法的特征

　　(1)有限性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束。

　　(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的。

　　(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果。

　　(4)顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后续，且除了最后一步外，每一个步骤只有一个确定的后续。

　　(5)不唯一性：解决同一问题的算法可以是不唯一的

　　课堂典例讲练

　　命题方向1对算法意义的理解

　　例1、下列叙述中，

　　①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;

　　②按顺序进行下列运算：1+1=2，2+1=3，3+1=4，…99+1=100;

　　③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到伦敦观看奥运会开幕式;

　　④3x>x+1;

　　⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12。

　　能称为算法的.个数为(　　)

　　A、2

　　B、3

　　C、4

　　D、5

　　【解析】根据算法的含义和特征：①②③都是算法;④⑤不是算法、其中④，3x>x+1不是一个明确的步骤，不符合明确性;⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾。

　　【答案】B

　　[规律总结]

　　1、正确理解算法的概念及其特点是解决问题的关键、

　　2、针对判断语句是否是算法的问题，要看它的步骤是否是明确的和有效的，而且能在有限步骤之内解决这一问题、

　　【变式训练】下列对算法的理解不正确的是________

　　①一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的

　　②算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤

　　③算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果

　　④一个问题只能设计出一个算法

　　【解析】由算法的有限性指包含的步骤是有限的故①正确;

　　由算法的明确性是指每一步都是确定的故②正确;

　　由算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果故③正确;

　　由对于同一个问题可以有不同的算法故④不正确。

　　【答案】④

　　命题方向2解方程(组)的算法

　　例2、给出求解方程组的一个算法。

　　[思路分析]解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法(即先将方程组化为一个三角形方程组，再通过回代方程求出方程组的解)解线性方程组、

　　[规范解答]方法一：算法如下：

　　第一步，①×(-2)+②，得(-2+5)y=-14+11

　　即方程组可化为

　　第二步，解方程③，可得y=-1，④

　　第三步，将④代入①，可得2x-1=7，x=4

　　第四步，输出4，-1

　　方法二：算法如下：

　　第一步，由①式可以得到y=7-2x，⑤

　　第二步，把y=7-2x代入②，得x=4

　　第三步，把x=4代入⑤，得y=-1

　　第四步，输出4，-1

　　[规律总结]1、本题用了2种方法求解，对于问题的求解过程，我们既要强调对“通法、通解”的理解，又要强调对所学知识的灵活运用。

　　2、设计算法时，经常遇到解方程(组)的问题，一般是按照数学上解方程(组)的方法进行设计，但应注意全面考虑方程解的情况，即先确定方程(组)是否有解，有解时有几个解，然后根据求解步骤设计算法步骤。

　　【变式训练】

　　【解】算法如下：S1，①+2×②得5x=1;③

　　S2，解③得x=;

　　S3，②-①×2得5y=3;④

　　S4，解④得y=;

　　命题方向3筛选问题的算法设计

　　例3、设计一个算法，对任意3个整数a、b、c，求出其中的最小值、

　　[思路分析]比较a，b比较m与c―→最小数

　　[规范解答]算法步骤如下：

　　1、比较a与b的大小，若a

　　2、比较m与c的大小，若m

　　[规律总结]求最小(大)数就是从中筛选出最小(大)的一个，筛选过程中的每一步都是比较两个数的大小，保证了筛选的可行性，这种方法可以推广到从多个不同数中筛选出满足要求的一个。

　　【变式训练】在下列数字序列中，写出搜索89的算法：

　　21,3,0,9,15,72,89,91,93

　　[解析]1、先找到序列中的第一个数m，m=21;

　　2、将m与89比较，是否相等，如果相等，则搜索到89;

　　3、如果m与89不相等，则往下执行;

　　4、继续将序列中的其他数赋给m，重复第2步，直到搜索到89。

　　命题方向4非数值性问题的算法

　　例4、一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊。

　　(1)设计安全渡河的算法;

　　(2)思考每一步算法所遵循的共同原则是什么?

高中数学教案8

　　一、什么是教学案例

　　教学案例是真实而又典型且含有问题的事件。简单地说，一个教学案例就是一个包含有疑难问题的实际情境的描述，是一个教学实践过程中的故事，描述的是教学过程中“意料之外，情理之中的事”。

　　这可以从以下几个层次来理解：

　　教学案例是事件：教学案例是对教学过程中的一个实际情境的描述。它讲述的是一个故事，叙述的是这个教学故事的产生、发展的历程，它是对教学现象的动态性的把握。

　　教学案例是含有问题的事件：事件只是案例的基本素材，并不是所有的教学事件都可以成为案例。能够成为案例的事件，必须包含有问题或疑难情境在内，并且也可能包含有解决问题的方法在内。正因为这一点，案例才成为一种独特的研究成果的表现形式。

　　案例是真实而又典型的事件：案例必须是有典型意义的，它必须能给读者带来一定的启示和体会。案例与故事之间的根本区别是：故事是可以杜撰的，而案例是不能杜撰和抄袭的，它所反映的是真是发生的事件，是教学事件的真实再现。是对“当前”课堂中真实发生的实践情景的描述。它不能用“摇摆椅子上杜撰的事实来替代”，也不能从抽象的、概括化的理论中演绎的事实来替代。

　　二、如何进行教学案例研究

　　教学案例是教师教学行为真实、典型的记录，也是教师教学理念和教学思想的真实体现。因此它是教育教学研究的宝贵资源，也是教师之间交流的重要媒介。进行教学案例的研究是教师不断反思、改进自己教学的一种方法，能促使教师更为深刻地认识到自己工作中的重点和难点。这个过程就是教师自我教育和成长的过程。

　　那么如何进行教学案例研究呢?一般情况下，案例研究的程序基本有以下两个环节：案例研究的准备及实施、案例研究报告的撰写与反思。

　　(一)案例研究的准备与实施

　　1.研究主题的选择

　　案例研究都要有研究的重点和主题，这个主题常与教学改革的核心理念、常见的疑难问题和困惑事件相关，一般来说可以从教学的各个方面确定研究的主题，如从教师教学行为确定主题——教学材料的选择、教学中的提问、教学媒体的使用、教学评价语言、课堂教学调控行为等;也可以从学生的学习方式确定主题——探究性学习、问题解决学习、合作学习、实践性活动等。另外从学科特点、教学内容等都可以确定研究的主题。

　　研究者要了解当前教学的大背景，教改的大方向，要熟悉相关的《课程标准》和有针对性地作一些理论准备。还要通过有关的调查，搜集详尽的材料(如阅读教师的教学设计，进行访谈等)，同时初步确定案例研究的方向、研究任务，即初步确定案例的内容是关于教学策略、学生行为或是教学技能的研究。

　　一般来说，案例研究主题的确定往往需要思考下面一些问题：即研究的事件是否对于自我发现更有潜力?选择的事件对学生是否有较大的情感影响(心灵是否受到震撼)?关键事件再现了前人(或自己)过去成功的行为吗?事件呈现的是一个你不能确定怎样解决的问题?事件需要你做出困难的选择吗?事件使得你必须以一种感觉不熟悉的方式或是仍在思考的方式回答吗?事件暗示一个与道德或道义上相关的问题吗?研究的主题如果反映以上的一些内容，那么这样的案例研究在自我学习、内省和深层次理解方面就可能更加富有成效。

　　高中数学教学案例研究的主题内容主要集中在三方面：(1)学科特点的体现：如数学思想方法的教学、数学思维品质的培养、本质属性的抽象、数学结论的推广等;(2)学生数学学习规律的探究：如数学学习习惯、解决问题的思维方式、独立思考与合作学习等;(3)教师专业知识的提升：如数学板书与电子屏幕的展示对学生思维的影响、数学语言的训练对人们思维的影响、数学知识模式化教学的优劣等。

　　2.案例研究的基本方法

　　(1)课堂观察。观察方法是指研究者按照一定的目的和计划，在课堂教学活动的自然状态下，用自己的感官和辅助工具对研究对象进行观察研究的一种方法。它可以是教师自己对教学对象——学生，在课堂活动中的片断进行观察，也可以由其他教师来实施观察，这两种观察的目的都是为了掌握课堂教学中的第一手资料。课堂观察方法不限于用肉眼观察、耳听手记，还可利用各种工具如照相、录音、摄像等作为辅助观察的手段，以提高观察的效果。对观察的资料，可以逐字逐句整理成课堂教学实录、教学程序表、提问技巧水平检核表、提问行为类型频次表、课堂教学时间分配表等，以便以后继续分析案例提供翔实的原始材料。

　　(2)访谈与调查。对一些课堂教学不能观察到的师生内心活动，如教师教学的目的、教学程序的意图、教学手段的运用以及教学达标的成效等一些需要进一步了解的问题，可以通过与执教教师的交谈以及和学生的座谈，以丰富和充实课堂教学观察的材料;对学生在课堂教学活动中回答问题的心理状态、解题思路等问题，也可以在课后做一些问卷调查;对学生达标的成度、效度，也可以作一些测试调查。从这些访谈、调查的材料中，再分析课堂教学的现象，不难发现造成各种课堂现象与教师教学行为之间的因果关系，然后再具体寻找在哪个教学环节中出现问题，从中提炼出解决问题的对策。

　　(3)文献分析。文献分析是通过查阅文献资料，从过去和现在的有关研究成果中受到启发，从中找到课堂教学现象的理论依据，从而增强案例分析的说服力。当然，对广大第一线教师而言，这里所运用的文献分析方法，并不是为了论证新教育理论，也不是去归纳教育的宏观现象，而是通过有关教育理论文献的查阅，去进一步解读课堂教学的活动，挖掘案例中的教育思想。如在数学教学中，我们常常通过学生的动手操作来获得有关的数学概念、法则与公式，那么，为什么要这样做呢?就可以带着问题，查阅、分析有关文献资料，从学习中提高研究者自身的理论水平。

　　(二)案例研究报告的撰写

　　1.常见的案例报告格式

　　撰写教学案例，结构可以灵活多样，并非要千篇一律、一个模式，而是可以有不同的表现形式，如“案例背景——案例描述——案例分析”、“案例过程——案例反思”、“课例——问题——分析”、“主题与背景——情景描述——问题讨论——诠释与研究”等。当前，国内外课堂教学案例编写的格式有多种多样。但不管何种编写格式，它们都有两个共同的特点：一是对案例的客观描述;二是对案例中所述问题、关键教学事件等的分析。

　　下面介绍两种常用的案例编写的格式：

　　(1)“描述+分析”式

　　此格式的特点是将整个案例分为两大部分，前半部分主要为描述课堂教学活动的情景，后半部分主要针对情景中的一个问题进行理论分析并获得结论。案例的描述一般是把课堂教学活动中的某一片断像讲故事一样原原本本地、具体生动地描绘出来。描述的形式可以是一串问答式的课堂对话，也可以概括式地叙述，主要是提供一个或一连串课堂教学疑难的问题，并把教育理论、教育思想隐藏在描述之中。案例的分析部分是针对描述的情景发表个人或多人的感受，同时加以理论的分析与说明。分析方法可以是对描述中提出的一个问题，从几个方面加以分析：也可以是对描述中的几个问题，集中从一个方面加以分析。分析的目的是要从描述的情景中提炼问题的本质，讲述理论的解释，明确正确的方法，最终获得对关键教学事件的正确把握。

　　(2)“背景+描述+问题+诠释”式

　　此格式是一种要求比较高的编写格式，而且，它在实际教学中的作用也更大。通常它将整个案例分为四个部分：

　　A.主题与背景

　　主题是关键教学事件中所反映的案例主要观点，也是整篇案例的核心思想。背景主要叙述案例发生的地点、时间、人物的一些基本情况。当然，这部分的内容不宜很长，只需提纲挈领叙述清楚即可。

　　B.情景描述

　　与“描述+分析”式中的描述相同，主要突出主题所反映的课堂教学活动。

　　C.问题讨论

　　这是根据主题要求与情景描述，进行的分析、归纳、总结与提炼，包括学科知识的要点、教学法和情景特点以及案例的说明与注意事项。这部分内容主要是为案例教学服务的，目的是提高教师的认识水平与学生主动学习的能力。不同的教学观念，不同的教学手段，所提出的问题也不同。对案例中所提出的主题以及情景描述中提出的问题阐述自己的见解。

　　D.诠释与研究

　　这部分主要是用教育理论对案例情景作多角度的解读。它包括对课堂教学行为的技术资料、课堂教学实录以及教学活动背后的故事等作理论上的分析。例如，在课堂教学中，我们常看到这样的现象，课堂教学的效果高于预期的目标，反之教师期望的目标学生没有达到或有所偏离，教学内容呈现的先后与学生理解的程度、教学方法运用与学生内在动机的激发等环节存在着矛盾，这些事件的背后，必然隐含着丰富的教育思想。所以，通过诠释，挖掘这些事件背后的内在思想，揭示其教育规律就显得十分的必要。

　　2.案例报告撰写的关键

　　(1)掌握四个原则。要写好教学案例，除了平时多积累素材，学习他人的案例作品以提高写作技巧外，还应把握以下四点：

　　A.主题性原则：要有捕捉关键教学事件的`意识，以此确定案例研究的主题。为此要注意了解新的课程改革的动向、把握适合时代要求的数学教育方式、明确学生数学学习的难点和重点，寻找数学教师专业发展的途径与规律。报告围绕主题进行情景描述和获得解决问题的策略。这种描述不是简单的教学活动实录，要反映事件发生的过程，重点描述反映关键教学事件的变化和戏剧化的情境，犹如记叙文写作，突出主题，详写重点，雕刻高潮。

　　案例鲜明的主题通常关系到教学的核心理念、常见问题、处理方法等等，可以说，主题就是案例的灵魂。而主题的最佳表现形式就是文题直接体现主题。因此，设计主题就要有新意、有时代感，通俗地说就是与众不同，要有独特见解、独家发现。来源于实践的教学案例并非都有同等价值，关键要看撰写者对实践的发展与理论的升华程度，包括对题目的推敲。如有的教学案例重点描述了有戏剧性的情节，用了“细节决定成败”的题目，给人耳目一新，一下子揪住了读者的心。再如，一些有创意的题目《“导之有方”方能“导之有效”》、《跳出数学教数学》、《在数学的疑难处悟成长》、《捕捉资源因势利导》等等，让人一看题目就有阅读的欲望。实践证明，在写作案例时，选择有感悟、有新意的内容，在明确主题，恰当拟题后再动笔，才能写出高质量的案例。

　　B.理论性原则：解决问题的策略中应当蕴含一定的教育基本原理和教育思想。实际是将自己对教育理念以及教育基本原理的理解渗透于描述的字里行间，比如学生做了什么，参与程度，投入程度如何，教师如何引导点拨，师生心理、行为变化情况等，无不体现教师的教学思想和教育基本原理。

　　C.叙事性原则：案例报告的书写方式是叙事式，它不同于论述式。叙事方式必须以课堂教学生动的事实为主要情节，可以夹叙夹议，也可以选择情景片段，可以是一节课中的情景，也可以是围绕一个主题的几节课的情景片段。

　　D.学科性原则：数学案例报告一定要体现学科的特征，要有较深刻的理性思考，要反映数学的基本思想与方法，要符合课程标准，满足教材内容的呈现方法，积极培养良好的思维习惯。就是撰写者的教育思想和教育理念在教学实践中具体体现。

　　(2)用好四种表述。教学案例的表述方法很多，可以归纳为以下四种方法：

　　A.故事式陈述法：就是教学全程或某一精彩教学片段实录，包括教师和学生的一言一行。陈述时，根据操作程序作一点“简评”，最后作“总评”。

　　B.以案说理：对教学过程进行陈述时，舍去与文题不相关或不重要的部分，并强化与主题相关的重要情节，尤其是引发高潮的关键行为，然后有较长篇幅的理性思考。

　　C.图表展示法：用图表进行统计的形式体现撰写者的教育思想，给人以一目了然的感觉，帮助读者迅速了解撰写者的写作意图，是常用的一种案例撰写方法。比如，描述学生的参与人数，投入程度，解决问题的质量等多个问题，都可以在一张或数张图表上用百分比或个(次)数进行统计。在每一张图表后，应有一段“分析”或“结论”，将撰写者的教学理念进行理性阐述，亦可在图表展示后，总的提出自己对案例的分析和建议。

　　D.分析讨论法：在撰写时，应汲取分析讨论中最精彩的部分做深入、细致的全面记录，最后撰写者还必须对讨论情况做一分析，或提出一些值得今后进一步思考的问题。

　　3.优秀案例的特征

　　(1)时代性：一个好的案例描述的是现实生活场景——案例的叙述要把事件置于一个时空框架之中，应该以关注今天所面临的疑难问题为着眼点，至少应该是近年发生的事情，展示的整个事实材料应该与整个时代及教学背景相照应，这样的案例读者更愿意接触。一个好的案例可以使读者有身临其境的感觉，并对案例所涉及的人产生移情作用。

　　(2)真实性：一个好的案例应该包括从案例所反映的对象那里引述的材料——案例写作必须持一种客观的态度，因此可引述一些口头的或书面的、正式的或非正式的材料，如对话、笔记、信函等，以增强案例的真实感和可读性。重要的事实性材料应注明资料来源。

　　(3)适用性：一个好的案例需要针对面临的疑难问题提出解决办法——案例不能只是提出问题，它必须提出解决问题的主要思路、具体措施，并包含着解决问题的详细过程，这应该是案例写作的重点。如果一个问题可以提出多种解决办法的话，那么最为适宜的方案，就应该是与特定的背景材料相关最密切的那一个。如果有包治百病、普遍适用的解决问题的办法，那么案例这种形式就不必要存在了。

　　(4)反思性：一个好的案例需要有对已经做出的解决问题的决策的评价——评价是为了给新的决策提供参考点。可在案例的开头或结尾写下案例作者对自己解决问题策略的评论，以点明案例的基本论点及其价值。

　　三、案例研究过程中需注意的问题

　　1.选材面过窄。从内容上看，多数案例是关于课堂教学甚至局限于一节课的研究，往往不能说明问题，或者在一节课中，也只会从简单的对话分析问题，做不到全方位、多角度。这说明教师对教学情境的丰富性、复杂性和联系性认识不够。

　　2.缺乏典型性。有的案例对教学实践没有挖掘与反思，随意摘取一些教学片段泛泛而谈、人云亦云，没有实用价值。不能够通过对某一事件现象的分析、处理、诠释，达到举一反三的效果，这样的案例对他人没什么借鉴作用。

　　3.主题不明确。主要体现为：

　　(1)主题涣散。有的案例象记流水帐，没有根据需要进行恰当的取舍，看不出作者要反映、探讨什么问题，缺乏指导性、创新性和参考性。

　　(2)定题过于随意。有的案例直接用案例研究依据的文题为题目，如《“三角函数”教学案例》、《“抛物线”教学案例》等，题目不鲜明、不形象，影响读者的选读和案例的传播。

　　4.结构不合理。案例作为一种文体，有它自己的写作结构，只有优化案例的结构，才能增强案例的可读性和指导性。如写成一般的教学设计，一般包括“备课思路、教学目标、教学重点、教学方法、课前准备、教学内容、教学过程”等内容;写成教学实录，把一堂课从头到尾详尽地记录下来，再写上作者的看法;重记录轻分析，过程描述多，评析少等等。没有创新，平淡无趣，看不出案例研究和反映的问题。

　　5.描述与分析脱节。有的案例描述与分析矛盾，让人不知所云;有时反映的是一种观点，分析阐明的是另一种观点，虽然不矛盾，但联系不紧密;有的分析中热衷于抄录教育理论的一些条条，脱离案例描述的事件而空谈理论，显得空泛无物。

高中数学教案9

　　一、教学目标

　　【知识与技能】

　　在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的'代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件。

　　【过程与方法】

　　通过对方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的的条件的探究，学生探索发现及分析解决问题的实际能力得到提高。

　　【情感态度与价值观】

　　渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

　　二、教学重难点

　　【重点】

　　掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。

　　【难点】

　　二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。

　　三、教学过程

　　（一）复习旧知，引出课题

　　1、复习圆的标准方程，圆心、半径。

　　2、提问1：已知圆心为（1，—2）、半径为2的圆的方程是什么？

高中数学教案10

　　整体设计

　　教学分析

　　我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

　　教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值。后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。

　　本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图象研究指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。

　　根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

　　三维目标

　　1、通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。

　　2、掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

　　3、能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

　　4、通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质。展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美。

　　重点难点

　　教学重点

　　（1）分数指数幂和根式概念的理解。

　　（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质。

　　（3）运用有理指数幂的性质进行化简、求值。

　　教学难点

　　（1）分数指数幂及根式概念的理解。

　　（2）有理指数幂性质的灵活应用。

　　课时安排

　　3课时

　　教学过程

　　第1课时

　　作者：路致芳

　　导入新课

　　思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？（考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚）考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的。教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

　　思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

　　（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？

　　（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

　　（4）可否用一个式子表达呢？

　　活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。

　　讨论结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2.

　　（2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根。

　　（3）类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根。

　　（4）用一个式子表达是，若xn=a，则x叫a的n次方根。

　　教师板书n次方根的意义：

　　一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整数集。

　　可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

　　提出问题

　　（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？（多媒体显示以下题目）。

　　①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。

　　（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，-32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？

　　（3）问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

　　（4）任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

　　活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的.思路。

　　讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

　　（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。

　　（3）一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0.

　　（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。

　　类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

　　①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

　　②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

　　③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。

　　上面的文字语言可用下面的式子表示：

　　a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.

　　a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在。

　　零的n次方根为零，记为n0=0.

　　可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。

　　思考

　　根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

　　活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题。

　　解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式。

　　根式的概念：

　　式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数。

　　如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数。

　　思考

　　nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？

　　活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论。教师点拨，注意归纳整理。

　　〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。

　　解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n=a.

　　通过探究得到：n为奇数，nan=a.

　　n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　因此我们得到n次方根的运算性质：

　　①(na)n=a.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数。

　　②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数。

　　n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值。

　　应用示例

　　思路1

　　例求下列各式的值：

　　（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。

　　活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析。观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数。

　　解：(1)3(-8)3=-8;

　　（2）(-10)2=10;

　　（3)4(3-π）4=π-3;

　　（4）(a-b)2=a-b(a>b)。

　　点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。

　　变式训练

　　求出下列各式的值：

　　(1)7(-2)7;

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)；

　　(3)4(3a-3)4.

　　解：(1)7(-2)7=-2，

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

　　(3)4(3a-3)4=

　　点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解。

　　思路2

　　例1下列各式中正确的是（）

　　A.4a4=a

　　B.6(-2)2=3-2

　　C.a0=1

　　D.10(2-1)5=2-1

　　活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答。

　　解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错。

　　(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错。

　　(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错。

　　(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确。所以答案选D.

　　答案：D

　　点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心。

　　例2 3+22+3-22=__________.

　　活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式。正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路。

　　解析：因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

　　3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

　　所以3+22+3-22=22.

　　答案：22

　　点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式。

　　思考

　　上面的例2还有别的解法吗？

　　活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正好抵消。同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法。

　　另解：利用整体思想，x=3+22+3-22，

　　两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

　　点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解。

　　变式训练

　　若a2-2a+1=a-1，求a的取值范围。

　　解：因为a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

　　即a-1≥0，

　　所以a≥1.

　　点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键。

　　知能训练

　　（教师用多媒体显示在屏幕上）

　　1、以下说法正确的是（）

　　A.正数的n次方根是一个正数

　　B.负数的n次方根是一个负数

　　C.0的n次方根是零

　　D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整数集）

　　答案：C

　　2、化简下列各式：

　　(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

　　答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

　　3、计算7+40+7-40=__________.

　　解析：7+40+7-40

　　=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

　　=(5+2)2+(5-2)2

　　=5+2+5-2

　　=25.

　　答案：25

　　拓展提升

　　问题：nan=a与(na)n=a(n>1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明。

　　活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义。

　　通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下。再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论。

　　解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。

　　如果xn=a(n>1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。

　　例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

　　(2)nan=a，|a|，当n为奇数，当n为偶数。

　　当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立。

　　例如：525=2，5(-2)5=-2.

　　当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，

　　即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有条件的。

　　点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。

　　课堂小结

　　学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上。

　　1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整数集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数。

　　（1）当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

　　(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

　　（3）负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。

　　2、掌握两个公式：n为奇数时，(na)n=a，n为偶数时，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　作业

　　课本习题2.1A组1.

　　补充作业：

　　1、化简下列各式：

　　(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

　　解：(1)681=634=332=39;

　　(2)15-32=-1525=-32;

　　(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.

　　2、若5

　　解析：因为5

　　答案：2a-13

　　3.5+26+5-26=__________.

　　解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，

　　不难看出5+26=(3+2)2=3+2.

　　同理5-26=(3-2)2=3-2.

　　所以5+26+5-26=23.

　　答案：23

　　设计感想

　　学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a<0，a=0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学。

　　第2课时

　　作者：郝云静

　　导入新课

　　思路1.碳14测年法。原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失。对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半）。引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂。

　　思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的。这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）整数指数幂的运算性质是什么？

　　（2）观察以下式子，并总结出规律：a>0，

　　①；

　　②a8=(a4)2=a4=，；

　　③4a12=4(a3)4=a3=；

　　④2a10=2(a5)2=a5= 。

　　（3）利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？

　　，，，(x>0，m，n∈正整数集，且n>1)。

　　（4）你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？

　　（5）你能推广到一般的情形吗？

　　活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示。

　　讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00无意义；

　　a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

　　（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。实质上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变。

　　根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。

　　（3）利用(2)的规律，453=，375=，5a7=，nxm= 。

　　(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。

　　结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。

　　（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示为nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

　　综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：

　　规定：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

　　提出问题

　　（1）负整数指数幂的意义是怎样规定的？

　　（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？

　　（3）你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？

　　（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？

　　（5）分数指数幂的意义中，为什么规定a>0，去掉这个规定会产生什么样的后果？

　　（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？

　　活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a>0的必要性，教师及时作出评价。

　　讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。

　　（2）既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。

　　规定：正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。

　　（3）规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（4）教师板书分数指数幂的意义。分数指数幂的意义就是：

　　正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（5）若没有a>0这个条件会怎样呢？

　　如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a>0的条件，比如式子3a2=，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上。

　　（6）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

　　有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题。

　　应用示例

　　例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。

　　活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2-1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来。

　　解：(1) =22=4;

　　（2）=5-1=15;

　　(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

　　（4）=23-3=278.

　　点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解。在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如=382=364=4.

　　例2用分数指数幂的形式表示下列各式。

　　a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。

　　活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结。

　　解：a3?a=a3? =；

　　a2?3a2=a2? =；

　　a3a= 。

　　点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。

　　例3计算下列各式（式中字母都是正数）。

　　（1）；

　　（2）。

　　活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤。

　　解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

　　（2）=m2n-3=m2n3.

　　点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法。有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了。

　　本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用。

　　变式训练

　　求值：(1)33?33?63;

　　(2)627m3125n64.

　　解：(1)33?33?63= =32=9;

　　(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

　　例4计算下列各式：

　　（1）(325-125)÷425;

　　(2)a2a?3a2(a>0)。

　　活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底。利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答。

　　解：(1)原式=

　　= =65-5;

　　(2)a2a?3a2= =6a5.

　　知能训练

　　课本本节练习1,2,3

　　【补充练习】

　　教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励。

　　1、(1)下列运算中，正确的是（）

　　A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2

　　C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6

　　（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意义的是（）

　　A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

　　（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）

　　A.a B.a2 C.a3 D.a4

　　（4）把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为（）

　　A. B.

　　C. D.

　　（5）化简的结果是（）

　　A.6a B.-a C.-9a D.9a

　　2、计算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

　　（2）设5x=4,5y=2，则52x-y=__________.

　　3、已知x+y=12，xy=9且x

　　答案：1.(1)D　(2)B　(3)B　(4)A　(5)C　2.(1)19　(2)8

　　3、解：。

　　因为x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

　　又因为x

　　所以原式= =12-6-63=-33.

　　拓展提升

　　1、化简：。

　　活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：

　　x-1= -13=；

　　x+1= +13=；

　　。

　　构建解题思路教师适时启发提示。

　　解：

　　= 。

　　点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，

　　=a-b，

　　=a± +b，

　　=a±b.

　　2、已知，探究下列各式的值的求法。

　　(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。

　　解：(1)将，两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

　　（2）将a+a-1=7两边平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;

　　（3）由于，

　　所以有=a+a-1+1=8.

　　点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值。

　　课堂小结

　　活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流。同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：

　　（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

　　（3）有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　（4）说明两点：

　　①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系。

　　②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用=am来计算。

　　作业

　　课本习题2.1A组2,4.

　　设计感想

　　本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。

　　第3课时

　　作者：郑芳鸣

　　导入新课

　　思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂。

　　思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）我们知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？

　　（2）多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？

　　2的过剩近似值

　　的近似值

　　1.5 11.180 339 89

　　1.42 9.829 635 328

　　1.415 9.750 851 808

　　1.414 3 9.739 872 62

　　1.414 22 9.738 618 643

　　1.414 214 9.738 524 602

　　1.414 213 6 9.738 518 332

　　1.414 213 57 9.738 517 862

　　1.414 213 563 9.738 517 752

　　… …

　　的近似值

　　2的不足近似值

　　9.518 269 694 1.4

　　9.672 669 973 1.41

　　9.735 171 039 1.414

　　9.738 305 174 1.414 2

　　9.738 461 907 1.414 21

　　9.738 508 928 1.414 213

　　9.738 516 765 1.414 213 5

　　9.738 517 705 1.414 213 56

　　9.738 517 736 1.414 213 562

　　… …

　　（3）你能给上述思想起个名字吗？

　　（4）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？

　　（5）借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？

　　活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：

　　问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向。

　　问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联。

　　问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近。

　　问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释。

　　问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般。

　　讨论结果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值。

　　（2）第一个表：从大于2的方向逼近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。

　　第二个表：从小于2的方向逼近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。

　　从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限地接近，即逼近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5.

　　充分表明是一个实数。

　　（3）逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识。

　　（4）根据(2)(3)我们可以推断是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数。

　　（5）无理数指数幂的意义：

　　一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数。

　　也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。

　　提出问题

　　（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？

　　（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？

　　（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？

　　活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳。

　　对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明。

　　对问题（2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a>0，α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通。

　　对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了。

　　讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1还是-1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱。

　　（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂。类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：

　　①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是无理数）。

　　②（ar)s=ars(a>0，r，s都是无理数）。

　　③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是无理数）。

　　（3）指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂。

　　实数指数幂的运算性质：

　　对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

　　应用示例

　　例1利用函数计算器计算。（精确到0.001）

　　(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。

　　活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按=，即可求得它的值；

　　对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号-键，再按3，最后按=即可；

　　对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按=即可；

　　对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最后按=键。有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算。

　　学生可以相互交流，挖掘计算器的用途。

　　解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.

　　点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n+1)位能否进位即可。

　　例2求值或化简。

　　(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；

　　（2）(a>0，b>0)；

　　(3)5-26+7-43-6-42.

　　活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律。

　　解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。

　　点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示。

高中数学教案11

　　一、教学目标

　　知识与技能：

　　理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念。

　　过程与方法：

　　会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写。

　　情感态度与价值观：

　　1、提高学生的推理能力；

　　2、培养学生应用意识。

　　二、教学重点、难点：

　　教学重点：

　　任意角概念的理解；区间角的集合的书写。

　　教学难点：

　　终边相同角的`集合的表示；区间角的集合的书写。

　　三、教学过程

　　（一）导入新课

　　1、回顾角的定义

　　①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

　　②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

　　（二）教学新课

　　1、角的有关概念：

　　①角的定义：

　　角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

　　②角的名称：

　　注意：

　　⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；

　　⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；

　　⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角。

　　⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度？

　　2、象限角的概念：

　　①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

　　例1、如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

高中数学教案12

　　教学目标：

　　1。理解并掌握瞬时速度的定义；

　　2。会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度；

　　3。理解瞬时速度的实际背景，培养学生解决实际问题的能力。

　　教学重点：

　　会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度。

　　教学难点：

　　理解瞬时速度和瞬时加速度的定义。

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　1。问题情境。

　　平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度。

　　问题一平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度。那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？

　　问题二跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对于水面的高度为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10,试确定t＝2s时运动员的速度.

　　2。探究活动：

　　(1)计算运动员在2s到2.1s(t∈)内的平均速度。

　　(2)计算运动员在2s到（2＋?t）s(t∈)内的平均速度。

　　(3)如何计算运动员在更短时间内的平均速度。

　　探究结论：

　　时间区间

　　平均速度

　　0.1

　　-13.59

　　0.01

　　-13.149

　　0.001

　　-13.1049

　　0.0001

　　-13.10049

　　0.00001

　　-13.100049

　　0.000001

　　-13.1000049

　　当?t?0时，?－13.1，

　　该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。

　　即t＝2s时，高度对于时间的'瞬时变化率。

　　二、建构数学

　　1。平均速度。

　　设物体作直线运动所经过的路程为,以为起始时刻，物体在?t时间内的平均速度为。

　　可作为物体在时刻的速度的近似值，?t越小，近似的程度就越好。所以当?t?0时，极限就是物体在时刻的瞬时速度。

　　三、数学运用

　　例1物体作自由落体运动，运动方程为，其中位移单位是m，时

　　间单位是s，，求：

　　（1）物体在时间区间s上的平均速度；

　　（2）物体在时间区间上的平均速度；

　　（3）物体在t＝2s时的瞬时速度。

　　分析

　　解

　　（1）将?t＝0.1代入上式，得：＝2.05g＝20.5m/s。

　　（2）将?t＝0.01代入上式，得：＝2.005g＝20.05m/s。

　　（3）当?t?0，2＋?t?2，从而平均速度的极限为：

　　例2设一辆轿车在公路上作直线运动，假设时的速度为，

　　求当时轿车的瞬时加速度。

　　解

　　∴当?t无限趋于0时，无限趋于，即＝。

　　练习

　　课本P12—1，2。

　　四、回顾小结

　　问题1本节课你学到了什么？

　　1理解瞬时速度和瞬时加速度的定义；

　　2实际应用问题中瞬时速度和瞬时加速度的求解；

　　问题2解决瞬时速度和瞬时加速度问题需要注意什么？

　　注意当?t?0时，瞬时速度和瞬时加速度的极限值。

　　问题3本节课体现了哪些数学思想方法？

　　2极限的思想方法。

　　3特殊到一般、从具体到抽象的推理方法。

　　五、课外作业

高中数学教案13

　　教学准备

　　教学目标

　　熟悉两角和与差的正、余公式的推导过程，提高逻辑推理能力。

　　掌握两角和与差的正、余弦公式，能用公式解决相关问题。

　　教学重难点

　　熟练两角和与差的正、余弦公式的.正用、逆用和变用技巧。

　　教学过程

　　复习

　　两角差的余弦公式

　　用- B代替B看看有什么结果?

高中数学教案14

　　教学目标

　　知识与技能目标：

　　本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：

　　(1)通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。

　　(2)从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。

　　(3)依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数导数的几何意义教案在导数的几何意义教案处的导数导数的几何意义教案的几何意义，使学生认识到导数导数的几何意义教案就是函数导数的几何意义教案的图象在导数的几何意义教案处的切线的斜率。即：

　　导数的几何意义教案=曲线在导数的几何意义教案处切线的斜率k

　　在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

　　过程与方法目标：

　　(1)学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。

　　(2)学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。

　　(3)结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。

　　情感、态度、价值观：

　　(1)通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系;通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值;

　　(2)在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

　　教学重点与难点

　　重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。

　　难点：发现、理解及应用导数的几何意义。

　　教学过程

　　一、复习提问

　　1.导数的定义是什么?求导数的三个步骤是什么?求函数y=x2在x=2处的导数.

　　定义：函数在导数的几何意义教案处的导数导数的几何意义教案就是函数在该点处的瞬时变化率。

　　求导数的步骤：

　　第一步：求平均变化率导数的几何意义教案;

　　第二步：求瞬时变化率导数的几何意义教案.

　　(即导数的几何意义教案，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数)

　　2.观察函数导数的几何意义教案的图象，平均变化率导数的几何意义教案在图形中表示什么?

　　生：平均变化率表示的是割线PQ的斜率.导数的几何意义教案

　　师：这就是平均变化率(导数的几何意义教案)的几何意义，

　　3.瞬时变化率(导数的几何意义教案)在图中又表示什么呢?

　　如图2-1，设曲线C是函数y=f(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上一点.点Q(x0+Δx，y0+Δy)是曲线C上与点P邻近的任一点，作割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线.

　　导数的几何意义教案

　　追问：怎样确定曲线C在点P的切线呢?因为P是给定的，根据平面解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了.设割线PQ的倾斜角为导数的几何意义教案，切线PT的倾斜角为导数的几何意义教案，易知割线PQ的斜率为导数的几何意义教案。既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PT的斜率导数的几何意义教案，即导数的几何意义教案。

　　由导数的定义知导数的几何意义教案导数的几何意义教案。

　　导数的几何意义教案

　　由上式可知：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的.斜率就是y=f(x)在点x0处的导数f'(x0).今天我们就来探究导数的几何意义。

　　C类学生回答第1题，A，B类学生回答第2题在学生回答基础上教师重点讲评第3题，然后逐步引入导数的几何意义.

　　二、新课

　　1、导数的几何意义：

　　函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率.

　　即：导数的几何意义教案

　　口答练习：

　　(1)如果函数y=f(x)在已知点x0处的导数分别为下列情况f'(x0)=1，f'(x0)=1，f'(x0)=-1，f'(x0)=2.试求函数图像在对应点的切线的倾斜角，并说明切线各有什么特征。

　　(C层学生做)

　　(2)已知函数y=f(x)的图象(如图2-2)，分别为以下三种情况的直线，通过观察确定函数在各点的导数.(A、B层学生做)

　　导数的几何意义教案

　　2、如何用导数研究函数的增减?

　　小结：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。导数的正负即对应函数的增减。作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。

　　同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。都反应了导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。

　　例1函数导数的几何意义教案上有一点导数的几何意义教案，求该点处的导数导数的几何意义教案，并由此解释函数的增减情况。

　　导数的几何意义教案

　　函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增。(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率)

　　3、利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程.

　　例2求曲线y=x2在点M(2，4)处的切线方程.

　　解：导数的几何意义教案

　　∴y'|x=2=2×2=4.

　　∴点M(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.

　　由上例可归纳出求切线方程的两个步骤：

　　(1)先求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0).

　　(2)根据直线方程的点斜式，得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).

　　提问：若在点(x0，f(x0))处切线PT的倾斜角为导数的几何意义教案导数的几何意义教案，求切线方程。(因为这时切线平行于y轴，而导数不存在，不能用上面方法求切线方程。根据切线定义可直接得切线方程导数的几何意义教案)

　　(先由C类学生来回答，再由A，B补充.)

　　例3已知曲线导数的几何意义教案上一点导数的几何意义教案，求：(1)过P点的切线的斜率;

　　(2)过P点的切线的方程。

　　解：(1)导数的几何意义教案，

　　导数的几何意义教案

　　y'|x=2=22=4.　∴在点P处的切线的斜率等于4.

　　(2)在点P处的切线方程为导数的几何意义教案即12x-3y-16=0.

　　练习：求抛物线y=x2+2在点M(2，6)处的切线方程.

　　(答案：y'=2x，y'|x=2=4切线方程为4x-y-2=0).

　　B类学生做题，A类学生纠错。

　　三、小结

　　1.导数的几何意义.(C组学生回答)

　　2.利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤.

　　(B组学生回答)

　　四、布置作业

　　1.求抛物线导数的几何意义教案在点(1,1)处的切线方程。

　　2.求抛物线y=4x-x2在点A(4，0)和点B(2，4)处的切线的斜率，切线的方程.

　　3.求曲线y=2x-x3在点(-1，-1)处的切线的倾斜角

　　4.已知抛物线y=x2-4及直线y=x+2，求：(1)直线与抛物线交点的坐标; (2)抛物线在交点处的切线方程;

　　(C组学生完成1,2题;B组学生完成1,2,3题;A组学生完成2,3，4题)

　　教学反思：

　　本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。

　　本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义;然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。

　　完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的作业看来，效果较好。

高中数学教案15

　　一、单元教学内容

　　(1)算法的基本概念

　　(2)算法的基本结构：顺序、条件、循环结构

　　(3)算法的基本语句：输入、输出、赋值、条件、循环语句

　　二、单元教学内容分析

　　算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在中学教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力

　　三、单元教学课时安排：

　　1、算法的基本概念3课时

　　2、程序框图与算法的基本结构5课时

　　3、算法的基本语句2课时

　　四、单元教学目标分析

　　1、通过对解决具体问题过程与步骤的分析体会算法的思想，了解算法的含义

　　2、通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环结构。

　　3、经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句：输入、输出、斌值、条件、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

　　4、通过阅读中国古代数学中的'算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

　　五、单元教学重点与难点分析

　　1、重点

　　(1)理解算法的含义(2)掌握算法的基本结构(3)会用算法语句解决简单的实际问题